Notation exponentielle

L'une de mes fidèles lectrices de ce blog m'a contactée pour me demander comment présenter la notation exponentielle (le carré, le cube et les autres exposants) pour que l'enfant ne fasse pas la confusion avec une multiplication par 2, 3 4...

L'introduction de la notation exponentielle est une étape plutôt simple car elle couronne une série d'activités commencées dès la période 3-6 ans.
Dès que l'enfant a suffisamment avancé dans sa connaissance des nombres jusqu'à 100, nous commençons à lui présenter les petites chaînes, puis les grandes chaînes quand il compte entre 100 et 1 000.

Le premier travail est tout simple, j'en ai déjà parlé sur ce blog et sur le blog 3-6: étiqueter les chaînes. Dans un premier temps, on ne met que les flèches des nombres. L'exercice renforce la numération et prépare la multiplication par le fait que l'on compte "en sautant".

Quand l'enfant a vu le principe de la multiplication. Nous voyons avec lui l'une des 2 étiquettes restées dans la boîte, celle qui montre la dernière flèche comme une multiplication. Ainsi, sur la chaîne de 4, sous la flèche 16, l'enfant place 4X4. Dans la chaîne de 5, la flèche 5X5 se place sous le 25 etc...
Evidemment, avant de placer cette flèche, on aura vu avec l'enfant, que la première flèche (4) correspond à 1X4, la seconde, 2X4 et la troisième 3X4.
Tout cela va faire sens et renforcer le travail fait avec les tables perforées et avec la table de Pythagore en perles.

Avant de passer à la suite, il faut rappeler que lors de la toute première présentation des petites chaînes, nous l'avons fait observer et décrire par l'enfant:
"De quoi est-elle constituée?" - "De barrettes de 4" - "Combien en vois-tu?" - "4"
Ensuite, nous avons replié la chaîne sous les yeux de l'enfant et nous lui avons demandé: "Qu'est-ce que tu vois, quand je replie la chaîne?" - "Un carré!"
Nous avons pris un carré dans le meuble des perles et l'avons superposé pour montrer que c'est pareil. Puis nous avons dit: "Cette chaîne, c'est la petite chaîne de 4, mais je peux aussi l'appeler la chaîne du carré de 4."

Il va se passer du temps pendant lequel l'enfant va continuer à travailler sa multiplication et découvrir la division. Nous allons lui montrer la notion de multiples et il va commencer sa recherche des multiples. Mais pour poursuivre le travail sur les multiples (qui fera l'objet d'un billet que j'aurais dû publier depuis longtemps...) il nous faut donner la notation exponentielle à l'enfant.
C'est pourquoi nous allons reprendre les chaînes, les petites pour commencer, les grandes ensuite.
L'enfant va d'abord mettre les flèches qu'il sait mettre. Puis nous allons attirer son attention sur la multiplication: 4X4. "Que remarques-tu?" -"C'est le même nombre. / C'est 2 fois le même nombre. / le nombre est multiplié par lui-même."
Nous rappelons à l'enfant ce que fait la chaîne pliée et plaçons le carré au dessus de la dernière barrette.
"Tu vois, cette multiplication, elle fabrique un carré" (note: l'enfant l'a vu et on le lui a fait remarquer  lorsqu'il a travaillé avec la table perforée pour les mémorisations et lors de la table de Pythagore). "Tu m'as dit que dans cette multiplication, le nombre se multipliait par lui-même, on trouve donc 2 fois le même. Et dans un carré, on a 2 dimensions: la longueur et la largeur (montrer sur le carré). Alors, cette multiplication, nous pouvons l'inscrire ainsi (sortir la dernière flèche avec 4 exposant 2). Le petit 2 qui est écrit un peu au dessus, veut dire que le chiffre se multiplie par lui-même. On a donc 2 fois le même chiffre dans la multiplication. Ça se lit 4 au carré."

Pour fixer la notion, j'avais pris l'habitude faire noter immédiatement dans le cahier 16 = 4 X 4 =42
(désolée pour la notation bizarre de l'exposant...). et je leur fais également écrire la "prononciation" de la notation: "quatre au carré". 
Puis je demandais à mon groupe d'enfants de prendre immédiatement une autre chaîne, comme la chaîne de 3 puis de 2 et les enfants notaient dans leur cahier.
Ensuite, je leur demandais de continuer à chercher seuls tous les carrés des nombres de 1 à 10.

Peu de temps après, quand les enfants avaient vu tous les carrés (le jour de la présentation ou les jours suivants), je continuais avec les grandes chaînes.

Lors de la présentation des grandes chaînes, en fin de 3-6 ou début de 6-12, nous avions repris la chaîne de telle sorte que l'on voie cela.

Pour plier facilement les chaines du cube, il devrait y avoir un anneau qui marque la fin de chaque carré. Pensez à le faire si vous fabriquez vous-même vos chaînes, sinon, n'hésitez pas à démonter vos chaînes achetées du commerce pour le faire, cela facilite grandement les manipulations et le rangement.

Sur les 2 photos ci-dessous vous voyez à gauche l'anneau qui marque le fin d'un carré, et pour comparer, à droite, le crochet en "S" fermé qui relie 2 barrettes.

Quand l'enfant a constaté qu'il voyait 4 carrés, nous avons sorti les 4 carrés du meuble des perles.

Puis nous avons empilé les 4 carrés pour faire apparaître le cube. Cela nous a permis de dire à l'enfant que les grandes chaînes étaient aussi les chaînes du cube.

Lorsque l'enfant place les flèches des nombres, on peut l'inciter à placer un carré au dessus de chaque barrette qui marque la fin d'un carré.  (Cette manipulation, plus facultative pour les chaînes de 1 à 9 est très utiles sur la chaîne de 1 000 puisqu'elle permet de voir le passage à chaque nouvelle centaine.)

Comme pour les chaînes du carré, la deuxième étape sera de montrer que la dernière flèche correspond à une multiplication. Le fait d'avoir utilisé les carrés en cours de comptage va rendre évidente cette multiplication: nous trouvons 4 carrés dans la chaîne. Or chaque carré représente 4X4 (ce que l'enfant a vu avec les petites chaînes). Donc, dans la grande chaîne, il y a 4X4X4

Nous en arrivons donc maintenant au moment où l'enfant a déjà vu la notation du carré sur les petites chaînes. Nous allons le faire observer la multiplication. Il verra qu'on prend 3 fois le même chiffre pour le multiplier. Nous ferons constater que le cube est un volume, donc possède 3 dimensions (longueur, largeur, hauteur) et introduirons alors la notation de l'exposant 3 en disant qu'elle se lit " au cube."

Là encore, pour fixer la notion, nous faisons écrire dans le cahier et on demande à l'enfant de traiter la chaîne de 3 (très courte) puis de 2. Puis l'enfant continuera à collecter les cubes dans les jours suivants en reprenant chaque chaîne.

Lors de cette présentation, certains enfants vont d'eux-mêmes deviner la notation des autres puissances pour 4X4X4X4 ou 4X4X4X4X4. On leur indiquera alors comment faire et comment lire la notation. On leur fera également remarquer que physiquement, nous n'avons plus d'objet capable de représenter cette notation.

Pour ceux qui ne vont pas si vite, on prendra le temps d'attendre qu'ils aient noté tous les cubes. Nous commencerons par bien revoir avec eux ce que signifie un nombre avec l'exposant 2 puis avec l'exposant 3. Puis, nous leur demanderons comment nous pourrions noter une multiplication telle que 4X4X4X4 ou 4X4X4X4X4. On fera noter dans le cahier l'équivalence entre les multiplications et les notations exponentielles ainsi que la manière de les prononcer (" quatre exposant quatre"; "quatre exposant 5"...).

Nous pourrons également expliquer que l'exposant 1 correspond au nombre simple. Il est sans doute un peu tôt en début de 6-12 pour expliquer que l'exposant 0 est égal à 1pour tous les nombres, mieux vaut attendre que l'enfant ait déjà 11/12 ans car c'est un postulat qui doit s'admettre sans référence au concret.

Ce qui va nous permettre de bien fixer  la notation, c'est que nous allons la réutiliser presque immédiatement dans notre travail sur les multiples. Mais c'est l'étape dont je n'ai pas encore parlé. Il va donc me falloir faire un billet. Mais, promis, auparavant, je vous prépare la suite de la conjugaison.

Dernière petite remarque, notamment pour répondre à ma lectrice.

Comment faire lorsque l'enfant se met à confondre 4 au carré et 4X2?

Je propose de demander à l'enfant de construire  avec des barrettes pour bien voir la différence et de calculer le résultat de chacune des 2 multiplications. Le faire avec plusieurs nombres, notamment 6, 7, 8 ou 9 pour bien voir la colossale différence entre les 2.

Autre point important, ne surtout pas faire la présentation du carré avec la chaîne de 2 et attendre d'avoir vu au moins 2 carrés pour faire la chaîne de 2.

Pour bien montrer différence, on peut aussi demander l'enfant de calculer  2X4, 3X4, 4X4 et 5X4 puis d'écrire les notations exponentielles de 4 au carré à 4 exposant 5, de les décomposer en multiplication, puis de calculer le résultat de ces multiplications. La colossale différence entre 5X4 (20) et 4X4X4X4X4 (1024) devrait être assez marquante pour l'enfant...